La matematica non è un’opinione, ma opinioni si hanno sulla matematica. E il compito del presente articolo è divincolarsi fra le varie posizioni relative al tema “matematica: scoperta o invenzione?”.

La contrapposizione

A lungo, nel corso della storia, diversi pensatori e matematici si sono interrogati sulla natura di una disciplina come la matematica, formulando due posizioni sostanzialmente antitetiche fra loro. Da un lato, c’è chi pensa che la matematica sia reale: i numeri e le operazioni che la caratterizzano esistono veramente, magari in qualche universo iperuranico, e, quindi, agli uomini non resta che scoprire queste forme di conoscenza. Questa prima tipologia di matematica viene vista come necessaria. Dall’altro lato, ci sono pensatori per cui, invece, la matematica è una disciplina soggettiva, arbitraria, simile a un’invenzione e frutto della creatività umana.

Le ragioni di una matematica “pura”[1]

A sostegno della prima tesi, quella di una matematica scoperta, è utile volgere lo sguardo alla nascita dei numeri e del far di conto, assumendo dunque un punto di vista storico.[2] Sembra che, inizialmente, i primi esemplari di homo sapiens distinguessero solamente fra uno e molti, cosa che, probabilmente, causava parecchi fraintendimenti.

Col tempo, però, impararono a percepire alcune prime differenze fra i vari oggetti che si trovarono davanti: un sasso è certamente diverso da un ramo, perché dovremmo contarli assieme? Nacquero allora i concetti di distinzione e uguaglianza: oggetti simili andavano raggruppati con altri oggetti della stessa forma, mentre era meglio tener separati oggetti di diversa natura. I raggruppamenti di oggetti formarono così gli insiemi, e, per indicarne la cardinalità, sorsero i numeri.

In precedenza, si era già passati dal calcolare concretamente la quantità di mele, di capi di bestiame, etc., alla concettualizzazione di tali entità e delle loro proprietà. In fondo, avevano notato che 2 mele, aggiunte ad altre 3 mele, davano sempre 5 mele in tutto, esattamente come 2 cavalli, legati ad altri 3 cavalli, formavano una briglia di 5 equini: i risultati erano gli stessi, a prescindere dalla natura degli oggetti che ci si trovava di fronte.

Il nascituro concetto di numero portava a decisivi miglioramenti e semplificazioni nello stile di vita quotidiano. Sebbene sia ancora oggi difficile da definire, indicava una precisa quantità di qualcosa di indefinito che stava in una relazione universale con altre quantità. Non a caso, i sistemi antichi di numerazione volevano rappresentare graficamente tali quantità; come, ad esempio, presso i babilonesi.

Tuttavia, anche gli antichi necessitavano un po’ di concettualizzazione, dato che rappresentare graficamente il numero 154 poteva far sorgere qualche problema di impaginazione. Allora, inventarono dei metodi per accorciare i numeri più lunghi: per i romani, ad esempio, C significava cento, D cinquecento, e così via. Tale concettualizzazione potrebbe indurci a pensare che la matematica non sia effettivamente scoperta, siccome si pone arbitrariamente che “qualcosa (numeri) stia per qualcos’altro (quantità di oggetti)”, ma dobbiamo ricordarci che questo qualcosa, i numeri, molto ragionevolmente non sarebbe mai nato senza l’osservazione del qualcos’altro.

Tra i sostenitori di una matematica scoperta si annovera il matematico Godfrey Harold Hardy, che nella celebre Apologia di un matematico compie una vera e propria dichiarazione d’amore verso questa disciplina. Stando a Hardy[3], compito del matematico è studiare la realtà matematica: una realtà esterna all’intelletto umano, da scoprire e osservare. Questa posizione è denominata da molti “platonismo matematico”. Altri difensori del platonismo matematico furono Platone, Leibniz, Cantor, Gödel[4] e, in epoca contemporanea, Rupert Sheldarke con la sua teoria dei campi morfici.

Le ragioni per una matematica inventata

Abbandonando per un momento la prospettiva storica a favore di un punto di vista puramente epistemologico, vediamo come la matematica sembri conformarsi a un modello che contiene assiomi, dimostrazioni di teoremi, costruzioni di soluzioni di un’equazione… tutti aspetti che porterebbero a pensare che sia un’invenzione, frutto dell’ingegno.

A ben guardare, però, le dimostrazioni dei teoremi e le soluzioni delle equazioni non sono altro che esplicitazioni di verità già implicite negli assiomi, quindi più simili a scoperte. La creatività sta maggiormente nell’elencazione degli assiomi. Un po’ come la pensa il matematico statunitense Steven Strogatz (cfr. Strogatz 2014), per il quale la matematica sarebbe composta da un momento creativo di determinate assunzioni iniziali e, in seguito, da un momento di ricerca e di scoperta di cosa succede dalle combinazioni di quelle supposizioni. In questo modo la matematica verrebbe a conformarsi a una sorta di invenzione della quale non si conoscono tutte le proprietà, che vengono appunto ricercate.

Quando la matematica era considerata dalla maggior parte dei pensatori come una scoperta (fino al XIX secolo), la geometria in voga era quella euclidea, basata su assiomi fondati sull’evidenza empirica: i cinque postulati di Euclide volevano, in fondo, conformare uno spazio “ideale”, rappresentabile su un foglio di carta, allo spazio “reale”, quello in cui agivano le persone nella quotidianità. Per questo sembrava essere l’unica matematica vera e naturale: era l’unica in grado di rappresentare il mondo, e per questo era una matematica scoperta. Fino a quel momento l’arbitrio (creativo) si identificava con la necessità: la volontà (incosciente) di creare un modello astratto di geometria si rifaceva, in realtà, al modello più immediato che si dava ai sensi. Se, come abbiamo visto nel precedente paragrafo, un atto creativo e artificiale come la concettualizzazione irrompeva nella scoperta della matematica e delle sue proprietà, ora, nel caso della geometria euclidea, vediamo una matematica inventata contaminata dalla scoperta del mondo circostante.

Per trovare un chiaro esempio di matematica inventata dobbiamo aspettare la fine del XIX secolo, quando la geometria euclidea entrò radicalmente in crisi a causa delle discussioni circa il V postulato di Euclide, che recita: “se una retta r intersecando due rette t ed s forma con esse angoli interni, da una stessa parte, minori di due retti, le due rette, indefinitamente prolungate, si incontrano da quella parte.”

Tale enunciato era considerato non di pari evidenza rispetto agli altri, e si cercò di dimostrare che in fondo non fosse un assioma ma un teorema derivabile dai primi quattro postulati. Agli inizi del XIX secolo la questione fu risolta dimostrando l’indipendenza del quinto assioma dai primi quattro: non è possibile derivarlo dagli altri e dunque si può anche farne a meno. Nacquero le geometrie non-euclidee, fondate non sull’evidenza immediata dei sensi, ma dando sfogo all’immaginazione e alla creatività degli ideatori.

Presentazione di alcune geometrie non euclidee

Per fare qualche esempio, si vedano queste nuove geometrie:

Modello di Klein

Geometria di Riemann

Geometria di Minkowski

Disco di Poincaré

Controargomentazioni

In realtà, i modelli di geometria non euclidea non nacquero propriamente “a caso”, ma derivarono sempre da determinate scelte, compiute dai rispettivi ideatori, volte a trovare uno spazio dove non valesse questo o quel principio euclideo.

Ad esempio, nel modello di Riemann (geometria sferica) due rette[5] qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune: non esistono, allora, rette parallele (negazione del V postulato, possibile grazie anche a una ridefinizione di tutti i termini relativi allo spazio euclideo).

Nel caso invece della geometria iperbolica, di cui il modello di Klein e il Disco di Poincaré sono due esempi, il V assioma euclideo è cambiato in “data una retta r e un punto P disgiunto da essa, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.”[6]

Vediamo allora come funzionano tutti questi modelli. L’idea di fondo nella creazione di queste geometrie è quella di negare certe evidenze avute da parte di Euclide durante l’osservazione della struttura del mondo circostante. Ma la negazione di determinate scoperte non è di per sé un’invenzione: nel momento in cui Euclide scopriva una struttura effettiva della geometria del mondo, contemporaneamente si davano già altre strutture possibili che Euclide decise di rifiutare. Cantor pensava che l’essenza della matematica fosse la sua libertà, ebbene questa libertà non può essere concepita in un senso assoluto: i creatori di queste nuove geometrie si muovevano sempre all’interno di possibili diverse realizzazioni del V postulato.

Ugualmente, un’idea simile viene espressa anche da Paolo Zellini in La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini. Per Zellini,

Innumerevoli prove e testimonianze assicurano che gli enti creati dal matematico, non appena si presentano con evidenza, spalancano un territorio incognito, dove ogni scoperta è lungi dal potersi ritenere, al pari di quegli enti, il prodotto di un libero arbitrio. […] neppure il primo atto di creazione è libero da un’intrinseca necessità che obbliga ritenerlo una scoperta più che un’invenzione.

P. Zellini [2016], p. 158

Tant’è che le definizioni dei numeri reali date nel XIX secolo, argomenta Zellini, affondano le proprie radici nelle proprietà dei numeri e dei loro rapporti già osservate in un ben remoto passato.

Tralasciamo per un attimo la discussione sulle geometrie. Da un punto di vista algebrico, si potrebbero considerare come un’invenzione i numeri complessi, nati dalla difficoltà nella risoluzione di qualche equazione (chi poteva risolvere √(-5) quando non esisteva i?). In realtà, anche i numeri complessi trovarono applicazione pratica nell’ingegneria elettrica ed elettronica, e allora uno può dire che si potevano benissimo scoprire studiando il fenomeno dell’elettricità: anche i complessi sarebbero stati una scoperta, se solo non li avessimo inventati prima.

Così come anche le geometrie non euclidee ebbero con il tempo una loro utilità pratica: ad esempio la geometria di Minkowski (una delle geometrie ideate da Hermann Minkowski)[7] è anche chiamata “geometria del taxi” in quanto in luoghi come Manhattan caratterizzati da sole strade parallele e perpendicolari come dei castra romani, i taxisti non calcolano la distanza in linea d’aria da un punto A fino a un punto B ma prendendo in considerazione tutti i segmenti ortogonali del percorso.[8]

O ancora, modelli di geometria sferica come quello di Riemann fungono ancor oggi da sostegno per la navigazione: in fondo, per compiere tragitti lunghi, sia via mare che via terra, non si può considerare il pianeta come un piano perché esso è più simile a una sfera.

Analizziamo ora brevemente il pensiero di Richard Dedekind [1939], esponente della matematica inventata. Egli considerava questa disciplina come una libera creazione della mente umana, dettata però dal conformarsi (restrizione?) di tale libertà alle leggi del pensiero, cioè a quelle capacità di collegare e far corrispondere una cosa all’altra. Inoltre, l’ideazione di nuova matematica – ammette Dedekind – deriva sempre da una sorta di nuove scoperte, scrive infatti che

[…] il più grande e vantaggioso progresso nella matematica e nelle altre scienze è consistito invariabilmente nella creazione e introduzione di nuovi concetti, resi necessari dalla ricorrenza frequente di fenomeni complessi [irriducibili alle] vecchie nozioni.

R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, 1939 p. III in Zellini [2016], p. 157.

Conclusioni

Il tema che ho voluto presentare può sembrare alquanto inflazionato, perché genera da sempre continue indecisioni: abbiamo visto velocemente come argomentazioni sia a favore della prima opzione, sia a favore di una matematica inventata, conducano ad argomenti circolari. Una volta difesa un’opzione, c’è sempre un “ma” che ci porta a considerare l’altra alternativa.

Personalmente, tra i vari momenti di indecisione che ho avuto riguardo all’argomento, adesso mi trovo abbastanza d’accordo nel pensare che la matematica sia una scoperta, principalmente per le argomentazioni esposte sopra. In fondo, credo che, anche se la matematica fosse un’invenzione, essa sarebbe comunque l’unica che ci permetterebbe, almeno per l’ambito delle scienze dure, di scoprire la natura: anche se i numeri fossero inventati, senza di essi non credo riusciremmo a spiegarci le leggi e i fenomeni naturali.

Bibliografia

Boyer Carl Benjamin, A History of Mathematics, John Wiley and Sons Inc., 1968 tr. it. di Carugo Adriano, Storia della matematica, Arnoldo Mondadori Editore, Milano 2011.

Gödel Kurt, La logica matematica di Russell, 1944 in Opere, Volume 2, Torino, Bollati Boringhieri, 2002.

Hardy Godfrey Harold, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Cambridge 1984² tr. it. di Saraval Luisa, Apologia di un matematico, Garzanti Editore, Milano 2002².

Strogatz Steven, The joy of x. A guided tour of mathematics, from one to infinity, Atlantic Books, Londra 2014.

Zellini Paolo, La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini, Adelphi, Milano 2016.

www.science.unitn.it/~sabatini/EdM/Sabatini_Taxi_v2007n04.pdf

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[1] Così la definisce Godfrey Harold Hardy in Apologia di un matematico, citando il Kant della prima Critica.

[2] È utile precisare che tale prospettiva non sia del tutto attendibile, dato che gran parte degli eventi descritti è plausibile ma non determinata da fonti certe. Le informazioni sono state per lo più ricavate da Storia della matematica di Carl Boyer.

[3] [1940], §§ 22-23.

[4] Il quale ne La logica matematica di Russell scriveva

Ma classi e concetti possono anche essere concepiti come oggetti reali, e precisamente le classi come pluralità di cose o come strutture consistenti di una pluralità di cose e i concetti come le proprietà e le relazioni fra cose esistenti indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni.

K. Gödel [2002], p. 133

[5] Trattandosi di un altro modello di geometria, avviene tutta un’altra definizione di termini come retta, piano e punto. Il piano è, infatti, un insieme di punti appartenenti a una superficie sferica dello spazio euclideo e la retta è la circonferenza massima della superficie sferica (che corrisponde in uno spazio euclideo all’intersezione fra la superficie sferica e un piano passante per il centro della sfera).

[6] Nel modello di Klein, infatti, esistono infinite rette passanti per un punto P parallele a una data retta r. Questo perché le rette terminano dove “termina lo spazio”, cioè sulla circonferenza e, diciamo, non fanno in tempo a intersecarsi con r.

[7] Nella geometria di Minkowski, la distanza fra due punti è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate.